81年自然組數學的一題證明 | 我不是台北書呆子
![81年自然組數學的一題證明](https://i.imgur.com/Yg8tUKe.jpg)
如圖,AD為圓的直徑,B、C為半圓周上兩點。令a=AB、b=BC、c=CD、d=AD,試證:d為方程式x3-(a2+b2+c2)x-2abc=0之一根。為什麼要講這題?因為那是我第二次考聯 ...
![81年自然組數學的一題證明](https://i.imgur.com/Yg8tUKe.jpg)
題目:
如圖,AD為圓的直徑,B、C為半圓周上兩點。令a=AB、b=BC、c=CD、d=AD,試證:d為方程式x3-(a2+b2+c2)x-2abc=0之一根。
為什麼要講這題?因為那是我第二次考聯考的題目;當時用和角公式努力去做,但是最後可能沒有很清楚表達出來,被扣了分數吧。
後來唸師大數學系,就有機會去看看<<數學傳播>>,就在17卷3期看到 蔡聰明 教授寫的文章<<四邊形的面積>>,裡面提到這個問題;而教授用托勒密定理和畢氏定理就漂亮解決這題(後來蔡教授的書<<數學的發現與猜想>>有收錄)。
解法複製如下:
令x=BD、y=AC,
由托勒密定理有xy=ac+bd
x2=d2-a2
y2=d2-c2
(d2-a2)( d2-c2)=x2y2=(ac+bd)2
展開化簡得到
d4-(a2+c2)d2+a2c2=a2c2+2abcd+b2d2
d4-(a2+b2+c2)d2-2abcd=0
d3-(a2+b2+c2)d-2abc=0
...
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